Scaldate il latte in un pentolino e nel frattempo raschiate e lavate le carote, tagliandole a rondelle: portate il latte a ebollizione e unite le carote, facendole cuocere per circa un quarto d’ora. Tenete da parte le carote e filtrate il latte. In un tegame fate sciogliere il burro, unite la farina e, mescolando, lasciate cuocere per qualche minuto. Aggiungete il latte, ormai raffreddato, e cuocete per 10 minuti a fuoco lento. A questo punto unite le carote e fate cuocere ancora per qualche minuto. Spegnete il fuoco e aggiungete il parmigiano, continuando a mescolare. Cuocete la pasta e usate la salsa per condire.